概念：

容量网络:设G(V,E),是一个有向网络,在V中指定了一个顶点,称为源点(记为Vs),以及另一个顶点,称为汇点(记为Vt);对于每一条弧<u,v>属于E,对应有一个权值c(u,v)>0,称为弧的容量.通常吧这样的有向网络G称为容量网络.

弧的流量:通过容量网络G中每条弧<u,v>,上的实际流量(简称流量),记为f(u,v);

网络流:所有弧上流量的集合f={f(u,v)},称为该容量网络的一个网络流.

可行流:在容量网络G中满足以下条件的网络流f,称为可行流.

 

    a.弧流量限制条件:   0<=f(u,v)<=c(u,v);

    b:平衡条件:即流入一个点的流量要等于流出这个点的流量,(源点和汇点除外).

若网络流上每条弧上的流量都为0,则该网络流称为零流.

 

伪流:如果一个网络流只满足弧流量限制条件,不满足平衡条件,则这种网络流为伪流,或称为容量可行流.(预流推进算法有用)

最大流:在容量网络中,满足弧流量限制条件,且满足平衡条件并且具有最大流量的可行流,称为网络最大流,简称最大流.

弧的类型:

a.饱和弧:即f(u,v)=c(u,v);

b.非饱和弧:即f(u,v)<c(u,v);

c.零流弧:即f(u,v)=0;

d.非零流弧:即f(u,v)>0.

链:在容量网络中,称顶点序列(u1,u2,u3,u4,..,un,v)为一条链要求相邻的两个顶点之间有一条弧.

设P是G中一条从Vs到Vt的链,约定从Vs指向Vt的方向为正方向.在链中并不要求所有的弧的方向都与链的方向相同.

a.前向弧:(方向与链的正方向一致的弧),其集合记为P+,

b.后向弧:(方向与链的正方向相反的弧),其集合记为P-.

增广路:

设f是一个容量网络G中的一个可行流,P是从Vs到Vt 的一条链,若P满足以下条件:

a.P中所有前向弧都是非饱和弧,

b.P中所有后向弧都是非零弧.

则称P为关于可行流f 的一条增广路.

沿这增广路改进可行流的操作称为增广.

残留容量:给定容量网络G(V,E),及可行流f,弧<u,v>上的残留容量记为cl(u,v)=c(u,v)-f(u,v).每条弧上的残留容量表示这条弧上可以增加的流量.因为从顶点u到顶点v的流量减少,等效与从顶点v到顶点u的流量增加,所以每条弧<u,v>上还有一个反方向的残留容量cl(v,u)=-f(u,v).

残留网络:设有容量网络G(V,E)及其上的网络流f,G关于f的残留网络记为G(V',E').其中G'的顶点集V'和G中顶点集G相同,V'=V.对于G中任何一条弧<u,v>,如果f(u,v)<c(u,v),那么在G'中有一条弧<u,v>属于E',其容量为c'(u,v)=c(u,v)-f(u,v),如果f(u,v)>0,则在G'中有一条弧<v,u>属于E',其容量为c'(v,u)=f(u,v).残留网络也称为剩余网络.

下面是所有最大流算法的精华部分：引入反向边

为什么要有反向边呢？

 

我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）

 

这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。

但这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。

那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢？回溯搜索吗？那么我们的效率就上升到指数级了。

而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。

我们直接来看它是如何解决的：

在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同时，inc(c[y,x],delta)

我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下

这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。

 

那么，这么做为什么会是对的呢？我来通俗的解释一下吧。

事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。（有人问如果这里没有2-4怎么办，这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点）同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流量。

 

EK算法

EK算法的核心

反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径，若有，找出增广路径上每一段[容量-流量]的最小值delta，若无，则结束。

在寻找增广路径时，可以用BFS来找，并且更新残留网络的值(涉及到反向边)。

而找到delta后，则使最大流值加上delta，更新为当前的最大流值。

 

 

对于BFS找增广路：

1.         flow[1]=INF，pre[1]=0;

        源点1进队列，开始找增广路，capacity[1][2]=40>0，则flow[2]=min(flow[1],40)=40;

        capacity[1][4]=20>0,则flow[4]=min(flow[1],20)=20;

        capacity[2][3]=30>0,则flow[3]=min(folw[2]=40，30)=30；

        capacity[2][4]=30,但是pre[4]=1(已经在capacity[1][4]这遍历过4号点了)

        capacity[3][4].....

        当index=4（汇点），结束增广路的寻找

        传递回increasement（该路径的流），利用前驱pre寻找路径

路径也自然变成了这样：

2.flow[1]=INF，pre[1]=0;

 源点1进队列，开始找增广路，capacity[1][2]=40>0，则flow[2]=min(flow[1],40)=40;

        capacity[1][4]=0!>0,跳过

        capacity[2][3]=30>0,则flow[3]=min(folw[2]=40，30)=30；

        capacity[2][4]=30,pre[4]=2，则flow[2][4]=min(flow[2]=40,20)=20;

        capacity[3][4].....

        当index=4（汇点），结束增广路的寻找

        传递回increasement（该路径的流），利用前驱pre寻找路径

 图也被改成

  

接下来同理

这就是最终完成的图，最终sumflow=20+20+10=50（这个就是最大流的值）

EK模板：

problem：hdu 1532

#include 
     
      #include 
      
       #include 
       
        #include 
        
         #include 
         
          #include 
          
           #include 
           
            #include 
            
             #define MAX 0x3f3f3f3f#define IO ios::sync_with_stdio(false);\ cin.tie(0);\ cout.tie(0);using namespace std;const int N = 205;int r[N][N],pre[N];bool vis[N];int n,m;//n边，m点bool BFS(int s,int t){ queue
             
               que; memset(pre,-1,sizeof(pre)); memset(vis,0,sizeof(vis)); pre[s] = s; vis[s] = 1; que.push(s); while(!que.empty()){ int p = que.front(); que.pop(); for(int i = 1;i <=m; i++){ if(r[p][i]>0 && !vis[i]){ pre[i] = p; vis[i] = 1; if(i == t) return 1; que.push(i); } } } return 0;}int EK(int s,int t){ int maxflow = 0,d; while(BFS(s,t)) { d = MAX; for(int i = t; i != s; i = pre[i]) //寻找增广路中最小的残量 d = min(d,r[pre[i]][i]); for(int i = t; i != s; i = pre[i]){ r[pre[i]][i] -= d; r[i][pre[i]] += d; } maxflow +=d; } return maxflow;}int main(){ IO while(cin>>n>>m){ memset(r,0,sizeof(r)); int s,e,c; for(int i = 0; i < n; i++){ cin>>s>>e>>c; r[s][e] += c; } cout<
              
               <